Cấp số cộng là dãy số có hiệu giữa hai số hạng liên tiếp không đổi. Hai công thức trọng tâm là số hạng tổng quát và tổng $n$ số hạng đầu.
Mục tiêu bài học
- Nhận biết cấp số cộng và công sai.
- Tính số hạng tổng quát từ số hạng đầu và công sai.
- Tính tổng các số hạng đầu và giải các bài toán thực tế đơn giản.
Kiến thức trọng tâm
Định nghĩa
$(u_n)$ là cấp số cộng nếu $u_{n+1}=u_n+d$, trong đó $d$ là hằng số gọi là công sai. Nếu $d>0$ dãy tăng, $d<0$ dãy giảm, $d=0$ dãy không đổi.
Số hạng tổng quát
$u_n=u_1+(n-1)d$. Nếu biết hai số hạng $u_m,u_n$ thì $u_n-u_m=(n-m)d$.
Tổng các số hạng đầu
$S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n=\dfrac n2(u_1+u_n)=\dfrac n2[2u_1+(n-1)d]$.
Tính chất
$u_k=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}2$ với các chỉ số ở giữa dãy. Đây là dấu hiệu hữu ích để kiểm tra ba số liên tiếp có thể thuộc một cấp số cộng hay không.
Ví dụ minh họa
Cho cấp số cộng $u_1=3$, $d=2$. Khi đó $u_{10}=3+9\cdot2=21$ và $S_{10}=\dfrac{10}{2}(3+21)=120$.
Bài tập tự luyện
- Cấp số cộng có $u_1=5,d=-2$. Tính $u_8$.
- Biết $u_3=7,u_8=22$. Tìm $d$.
- Tính tổng $1+4+7+\cdots+28$.
Xem đáp án nhanh
- $u_8=-9$.
- $d=3$.
- $S_{10}=145$.
Lỗi thường gặp
- Dùng $u_n=u_1+nd$ thay vì $u_1+(n-1)d$.
- Nhầm công sai với tỉ số hai số hạng liên tiếp.
- Đếm sai số lượng số hạng trước khi tính tổng.
Ghi nhớ
Hãy ưu tiên hiểu định nghĩa và điều kiện áp dụng trước khi ghi nhớ công thức. Sau mỗi phép biến đổi, kiểm tra lại điều kiện và tính hợp lí của kết quả.
Xem toàn bộ nội dung trong Chương 2. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân hoặc Lý thuyết Toán lớp 11 KNTT.