Dãy số là hàm số có biến thuộc tập số tự nhiên dương hoặc một tập con liên tiếp của nó. Bài học tập trung vào cách cho dãy, biểu diễn dãy và nhận xét tính tăng giảm, bị chặn.
Mục tiêu bài học
- Nhận biết dãy số và số hạng tổng quát.
- Phân biệt cách cho bằng công thức tường minh và truy hồi.
- Xét được tính tăng giảm và tính bị chặn trong các ví dụ cơ bản.
Kiến thức trọng tâm
Khái niệm
Dãy số $(u_n)$ gán cho mỗi chỉ số $n$ một số thực $u_n$. $u_n$ gọi là số hạng thứ $n$. Dãy hữu hạn có số lượng số hạng hữu hạn; dãy vô hạn tiếp tục với mọi $n$ thuộc miền chỉ số.
Cách cho dãy
Có thể cho bằng liệt kê, công thức tường minh $u_n=f(n)$ hoặc công thức truy hồi, trong đó số hạng sau được xác định từ một hay nhiều số hạng trước.
Dãy tăng, dãy giảm
Dãy tăng nếu $u_{n+1}>u_n$ với mọi chỉ số phù hợp; dãy giảm nếu $u_{n+1}\lt u_n$. Thường xét dấu của $u_{n+1}-u_n$ hoặc tỉ số khi các số hạng dương.
Dãy bị chặn
Dãy bị chặn trên nếu tồn tại $M$ sao cho $u_n\le M$; bị chặn dưới nếu tồn tại $m$ sao cho $u_n\ge m$. Nếu đồng thời bị chặn trên và dưới thì dãy bị chặn.
Ví dụ minh họa
Cho $u_n=\dfrac{n}{n+1}$. Ta có $u_{n+1}-u_n=\dfrac1{(n+1)(n+2)}>0$, nên dãy tăng. Đồng thời $0\lt u_n\lt 1$, vì vậy dãy bị chặn.
Bài tập tự luyện
- Viết bốn số hạng đầu của $u_n=2n-1$.
- Cho $u_1=1$, $u_{n+1}=u_n+3$. Tính $u_4$.
- Xét tính tăng giảm của $u_n=\dfrac1n$.
Xem đáp án nhanh
- $1,3,5,7$.
- $u_4=10$.
- Dãy giảm vì $u_{n+1}\lt u_n$.
Lỗi thường gặp
- Nhầm chỉ số $n$ với giá trị của số hạng.
- Tính sai số hạng truy hồi vì bỏ qua số hạng đầu.
- Kết luận dãy tăng/giảm chỉ từ vài số hạng đầu mà không chứng minh cho mọi $n$.
Ghi nhớ
Xem toàn bộ nội dung trong Chương 2. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân hoặc Lý thuyết Toán lớp 11 KNTT.