Cách làm dạng bài tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước ta sử dụng các kiến thức sau:
+ $ \dfrac{A}{B}>0$ khi và chỉ khi A và B cùng dấu;
+ $ \dfrac{A}{B}<0$ khi và chỉ khi A và B trái dấu.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Hằng đẳng thức đáng nhớ và chú ý a2 ≥ 0 với mọi giá trị của a.
Với $a,b\in\mathbb{Z}$ và $b\ne 0$, ta có: $\dfrac{a}{b}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow b\mid a$.
5A. Cho phân thức $ A=\dfrac{{x+2}}{{x-1}}$ với $ x\ne 1.$
a) Tìm x để A > 1;
b) Tìm x ∈ Z để A ∈ Z
5B. Cho phân thức $ B=\dfrac{{x^{2}-x+2}}{{x-3}}$ với $ x\ne 3.$
a) Tìm x để B > 0;
b) Tìm x ∈ Z để B ∈ Z
6A. a) Tìm x để phân thức $ M=\dfrac{8}{{x^{2}-4x+12}}$ đạt giá trị lớn nhất;
b) Tìm x để phân thức $ N=\dfrac{{-5}}{{x^{2}+2x+11}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
6B. Cho biểu thức $ C=\dfrac{{x^{2}}}{{x-2}}.\left( {\dfrac{{x^{2}+4}}{x}-4} \right)+3.$
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức C;
b) Rút gọn biểu thức C;
c) Tìm x để C có giá trị nhỏ nhất.
6C. Cho biểu thức $ A=\dfrac{3}{{x^{2}-2x+2}}.$
a) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất;
b) Tìm x để A ∈ Z
5A. a) Ta có $A=1+\dfrac{3}{x-1}$. Do đó $A>1\Leftrightarrow \dfrac{3}{x-1}>0\Leftrightarrow x>1$ (thỏa mãn điều kiện $x\ne1$).
b) Với $x\in\mathbb{Z}$ và $x\ne1$, ta có $A\in\mathbb{Z}$ khi và chỉ khi $x-1$ là ước của $3$. Vì $x-1\in\{-3;-1;1;3\}$ nên $x\in\{-2;0;2;4\}$.
6A. a) Ta có
$x^{2}-4x+12=(x-2)^{2}+8\ge8$.
Vì tử số của $M$ là số dương nên $M=\dfrac{8}{(x-2)^{2}+8}\le1$. Do đó giá trị lớn nhất của $M$ là $1$, đạt được khi $x=2$.
b) Ta có
$x^{2}+2x+11=(x+1)^{2}+10\ge10$.
Vì $N=\dfrac{-5}{(x+1)^{2}+10}$ nên $N\ge-\dfrac{1}{2}$. Do đó giá trị nhỏ nhất của $N$ là $-\dfrac{1}{2}$, đạt được khi $x=-1$.
Chú ý: Với mẫu số luôn dương, phân thức có tử dương đạt giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất; phân thức có tử âm đạt giá trị nhỏ nhất khi mẫu nhỏ nhất.
6B. a) x ≠ 0, x ≠ 2.
b) Ta có C = x2 – 2x + 3.
c) Ta có C = x2 – 2x + 3 = (x – 1)2 + 2 ≥ 2
Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của C = 2 khi x = 1.
6C. a) Tương tự 6A. ⇒ Giá trị lớn nhất của A = 3 khi x = 1.
b) Ta chứng minh được 0 < A ≤ 3 mà A $ \in \mathbb{Z}$ ⇒ A ∈ {1;2;3}.
Ta có:
* $ A=1\Rightarrow x^{2}-2x-1=0\Rightarrow x=1\pm \sqrt{2}$
* $ A=2\Rightarrow x^{2}-2x+\dfrac{1}{2}=0\Rightarrow x=1\pm \dfrac{1}{{\sqrt{2}}}$
* $ A=3\Rightarrow x^{2}-2x+1=0\Rightarrow x=1$
Vậy $ x\in \left\{ {1\pm \sqrt{2};1\pm \dfrac{1}{{\sqrt{2}}};1} \right\}$