Xác suất có điều kiện trả lời câu hỏi: xác suất của biến cố \(A\) thay đổi thế nào khi đã biết biến cố \(B\) xảy ra? Thông tin mới làm thu hẹp không gian đang xét từ toàn bộ không gian mẫu xuống biến cố \(B\).
1. Công thức xác suất có điều kiện
Với \(P(B)>0\):
\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.\]
Từ đó suy ra công thức nhân:
\[P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)=P(A)P(B\mid A).\]
2. Biến cố độc lập
Hai biến cố \(A,B\) độc lập khi việc biết một biến cố xảy ra không làm thay đổi xác suất của biến cố kia. Khi \(P(A),P(B)>0\), điều này tương đương với \(P(A\mid B)=P(A)\) và:
\[P(A\cap B)=P(A)P(B).\]
3. Ví dụ
Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Rút liên tiếp 2 bi không hoàn lại. Gọi \(A\): “lần đầu rút đỏ”, \(B\): “lần hai rút đỏ”. Ta có \(P(A)=5/8\). Khi đã biết \(A\) xảy ra, hộp còn 4 bi đỏ trong 7 bi nên \(P(B\mid A)=4/7\). Do đó \(P(A\cap B)=\frac58\cdot\frac47=\frac5{14}\).
Ghi nhớ: trong phép thử không hoàn lại, các lần rút thường không độc lập vì thành phần của hộp thay đổi sau mỗi lần rút.
Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức – Chương 6 · Lý thuyết Toán lớp 12.