Bài toán góc trong không gian có thể quy về tích vô hướng của các vectơ. Tùy đối tượng, ta dùng vectơ chỉ phương của đường thẳng hoặc vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
1. Góc giữa hai đường thẳng
Nếu \(\vec u,\vec v\) là hai vectơ chỉ phương thì góc nhọn hoặc vuông \(\varphi\) giữa hai đường thẳng thỏa:
\[\cos\varphi=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|}.\]
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu \(\vec u\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng, \(\vec n\) là pháp tuyến của mặt phẳng và \(\alpha\) là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
\[\sin\alpha=\frac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u|\,|\vec n|}.\]
3. Góc giữa hai mặt phẳng
Nếu \(\vec n_1,\vec n_2\) là hai pháp tuyến:
\[\cos\beta=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}.\]
4. Ví dụ
Với \(\vec u=(1;1;0)\), \(\vec v=(1;0;1)\), ta có \(\vec u\cdot\vec v=1\), \(|\vec u|=|\vec v|=\sqrt2\). Vậy \(\cos\varphi=1/2\), suy ra \(\varphi=60^\circ\).
Ghi nhớ: công thức đường thẳng–mặt phẳng dùng sin vì pháp tuyến tạo với mặt phẳng một góc bù phụ với góc của đường thẳng.
Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức – Chương 5 · Lý thuyết Toán lớp 12.