Từ bảng số liệu ghép nhóm, bài học xây dựng cách ước lượng số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt để mô tả vị trí trung tâm của dữ liệu.
Mục tiêu bài học
- Tính số trung bình của mẫu ghép nhóm bằng giá trị đại diện.
- Xác định nhóm chứa trung vị, tứ phân vị và áp dụng công thức nội suy.
- Tính mốt của mẫu ghép nhóm và hiểu ý nghĩa của từng số đặc trưng.
Kiến thức trọng tâm
Số trung bình
Nếu nhóm thứ $i$ có giá trị đại diện $x_i$ và tần số $m_i$, $n=\sum m_i$, thì $\bar x=\dfrac{\sum m_ix_i}{n}$.
Trung vị
Nếu nhóm $[a_p;a_{p+1})$ chứa trung vị, độ dài nhóm $h$, tần số nhóm $m_p$, tần số tích lũy trước nhóm là $c_{p-1}$, thì $M_e=a_p+\dfrac{n/2-c_{p-1}}{m_p}h$.
Tứ phân vị
Cách tính $Q_1,Q_3$ tương tự trung vị, thay $n/2$ lần lượt bằng $n/4$ và $3n/4$, sau khi xác định đúng nhóm chứa tứ phân vị.
Mốt
Nếu nhóm có tần số lớn nhất là nhóm mốt $[a_p;a_{p+1})$, đặt $d_1=m_p-m_{p-1}$, $d_2=m_p-m_{p+1}$ thì $M_o=a_p+\dfrac{d_1}{d_1+d_2}h$ khi các đại lượng phù hợp.
Ví dụ minh họa
Với các nhóm $[0;10),[10;20),[20;30)$ có tần số 2, 5, 3: các giá trị đại diện là 5, 15, 25 nên $\bar x=16$. Nhóm chứa trung vị là $[10;20)$ và $M_e=10+\dfrac{5-2}{5}\cdot10=16$.
Bài tập tự luyện
- Tính số trung bình cho các nhóm trên.
- Xác định nhóm chứa mốt.
- Nếu tần số tích lũy trước nhóm trung vị là 8, tần số nhóm là 6, $n=20$, $a_p=30,h=10$, tính trung vị.
Xem đáp án nhanh
- $16$.
- $[10;20)$.
- $M_e=30+\dfrac{10-8}{6}\cdot10=\dfrac{100}{3}$.
Lỗi thường gặp
- Dùng đầu mút nhóm thay cho giá trị đại diện khi tính trung bình.
- Chọn nhóm trung vị bằng cách nhìn tần số lớn nhất.
- Quên dùng tần số tích lũy trước nhóm trong công thức trung vị/tứ phân vị.
Ghi nhớ
Hãy ưu tiên hiểu định nghĩa và điều kiện áp dụng trước khi ghi nhớ công thức. Sau mỗi phép biến đổi, kiểm tra lại điều kiện và tính hợp lí của kết quả.
Xem toàn bộ nội dung trong Chương 3. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm hoặc Lý thuyết Toán lớp 11 KNTT.