Bài 2 hệ thống các công thức biến đổi lượng giác quan trọng, dùng để tính giá trị chính xác và rút gọn biểu thức ở các bài sau.
Mục tiêu bài học
- Ghi nhớ và sử dụng đúng công thức cộng, công thức nhân đôi.
- Biết biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.
- Nhận diện điều kiện để các biểu thức chứa tan có nghĩa.
Kiến thức trọng tâm
Công thức cộng
$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$; $\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$. Khi các biểu thức có nghĩa, $\tan(a\pm b)=\dfrac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}$.
Công thức nhân đôi
$\sin2a=2\sin a\cos a$; $\cos2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$; $\tan2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}$ khi có nghĩa.
Biến đổi tích thành tổng
$2\cos a\cos b=\cos(a-b)+\cos(a+b)$; $2\sin a\sin b=\cos(a-b)-\cos(a+b)$; $2\sin a\cos b=\sin(a+b)+\sin(a-b)$.
Biến đổi tổng thành tích
$\cos u+\cos v=2\cos\dfrac{u+v}{2}\cos\dfrac{u-v}{2}$ và $\cos u-\cos v=-2\sin\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{u-v}{2}$. Các công thức tương tự cho tổng/hiệu hai sin.
Ví dụ minh họa
Không dùng máy tính, tính $\sin15^\circ$. Vì $15^\circ=45^\circ-30^\circ$, nên $\sin15^\circ=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$.
Bài tập tự luyện
- Tính $\cos75^\circ$.
- Rút gọn $\sin2x+\sin4x$.
- Biểu diễn $\cos3x\cos x$ thành tổng.
Xem đáp án nhanh
- $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$.
- $2\sin3x\cos x$.
- $\dfrac12(\cos2x+\cos4x)$.
Lỗi thường gặp
- Đổi nhầm dấu trong công thức cos của tổng và hiệu.
- Áp dụng công thức tan mà không kiểm tra mẫu số.
- Nhầm hệ số 2 khi chuyển tích thành tổng hoặc tổng thành tích.
Ghi nhớ
Hãy ưu tiên hiểu định nghĩa và điều kiện áp dụng trước khi ghi nhớ công thức. Sau mỗi phép biến đổi, kiểm tra lại điều kiện và tính hợp lí của kết quả.
Xem toàn bộ nội dung trong Chương 1. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác hoặc Lý thuyết Toán lớp 11 KNTT.