Phân thức đại số là một nội dung quan trọng của Đại số 8. Muốn làm tốt phần này, học sinh cần nắm chắc điều kiện xác định, tính chất cơ bản của phân thức, cách rút gọn, quy đồng và các phép cộng, trừ, nhân, chia.
1. Phân thức đại số là gì?
Một phân thức đại số có dạng A/B, trong đó A và B là các đa thức và B khác đa thức 0. A được gọi là tử thức, B được gọi là mẫu thức.
Ví dụ:
- (x + 1)/(x – 2) là một phân thức đại số.
- (2x² – 3x + 1)/(x² + 1) là một phân thức đại số.
- Một đa thức cũng có thể xem là một phân thức với mẫu bằng 1.
2. Điều kiện xác định của phân thức
Khi làm việc với một phân thức cụ thể, mẫu thức phải khác 0. Vì vậy, trước khi rút gọn hoặc thực hiện phép tính, cần tìm những giá trị của biến làm mẫu bằng 0 và loại chúng.
Ví dụ: Với phân thức (x + 2)/(x – 3), điều kiện xác định là x ≠ 3.
Với phân thức (x² – 1)/(x² – 4), ta có x² – 4 = (x – 2)(x + 2). Vì vậy điều kiện xác định là x ≠ 2 và x ≠ -2.
3. Hai phân thức bằng nhau
Hai phân thức A/B và C/D bằng nhau khi A × D = B × C, với các mẫu thức khác 0.
Ví dụ: x/(x + 1) và 2x/(2x + 2) bằng nhau với x ≠ -1 vì x(2x + 2) = 2x(x + 1).
4. Tính chất cơ bản của phân thức
Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:
A/B = (A × M)/(B × M).
Nếu chia cả tử và mẫu cho cùng một nhân tử chung khác 0 thì cũng được một phân thức bằng phân thức ban đầu:
A/B = (A : N)/(B : N).
Tính chất này là cơ sở của hai thao tác rất quan trọng: rút gọn phân thức và quy đồng mẫu thức.
5. Rút gọn phân thức
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử khi có thể.
- Tìm nhân tử chung của tử và mẫu.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
- Không quên điều kiện xác định của phân thức ban đầu.
Ví dụ: Rút gọn (x² – 4)/(x² – 2x).
Ta có x² – 4 = (x – 2)(x + 2) và x² – 2x = x(x – 2).
Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ 2.
Do đó:
(x² – 4)/(x² – 2x) = [(x – 2)(x + 2)]/[x(x – 2)] = (x + 2)/x.
Kết quả rút gọn là (x + 2)/x nhưng điều kiện vẫn phải giữ theo phân thức ban đầu: x ≠ 0, x ≠ 2.
6. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức
Quy đồng mẫu thức là biến đổi các phân thức về cùng một mẫu để thuận tiện cho phép cộng hoặc trừ.
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử.
- Chọn mẫu thức chung có đủ các nhân tử cần thiết.
- Tìm nhân tử phụ của từng phân thức.
- Nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ tương ứng.
Ví dụ: Quy đồng 1/(x – 1) và 2/(x + 1).
Mẫu thức chung có thể chọn là (x – 1)(x + 1), với x ≠ 1 và x ≠ -1.
Ta được:
1/(x – 1) = (x + 1)/[(x – 1)(x + 1)]
2/(x + 1) = 2(x – 1)/[(x – 1)(x + 1)]
7. Cộng và trừ phân thức
Nếu hai phân thức cùng mẫu, ta cộng hoặc trừ các tử và giữ nguyên mẫu. Nếu khác mẫu, cần quy đồng trước.
Ví dụ:
1/(x – 1) + 2/(x + 1)
Điều kiện: x ≠ 1, x ≠ -1.
Quy đồng và thu gọn:
[(x + 1) + 2(x – 1)] / [(x – 1)(x + 1)] = (3x – 1)/(x² – 1).
8. Nhân phân thức
Muốn nhân hai phân thức, nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau. Trước khi nhân hoàn toàn, nên phân tích thành nhân tử để rút gọn sớm.
Ví dụ:
[(x² – 1)/(x + 1)] × [(x + 2)/(x – 1)]
Điều kiện: x ≠ -1, x ≠ 1.
Vì x² – 1 = (x – 1)(x + 1), ta có kết quả x + 2.
9. Chia phân thức
Muốn chia phân thức A/B cho C/D, ta nhân A/B với phân thức nghịch đảo D/C:
A/B : C/D = A/B × D/C.
Ngoài điều kiện các mẫu ban đầu khác 0, phân thức dùng làm số chia còn phải khác 0.
Ví dụ:
x/(x + 1) : [2x/(x – 1)]
Điều kiện: x ≠ -1, x ≠ 1 và x ≠ 0.
Ta có x/(x + 1) × (x – 1)/(2x) = (x – 1)/[2(x + 1)].
10. Những lỗi học sinh thường gặp
- Quên điều kiện xác định: nên đặt điều kiện từ mẫu thức ban đầu trước khi rút gọn.
- Rút gọn sai qua phép cộng: chỉ được rút gọn các nhân tử, không được gạch bỏ các hạng tử đang cộng hoặc trừ.
- Quy đồng thiếu nhân tử: nên phân tích mẫu thành nhân tử trước khi chọn mẫu thức chung.
- Đổi dấu sai: cần chú ý -(a – b) = b – a.
- Chia phân thức nhưng quên nghịch đảo phân thức thứ hai.
11. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của (2x + 1)/(x² – 9).
Bài 2. Rút gọn (x² – 9)/(x² + 3x).
Bài 3. Quy đồng 1/x và 2/(x – 1).
Bài 4. Thực hiện phép tính 3/(x + 2) + 1/(x – 2).
Bài 5. Rút gọn [(x² – 4)/(x² – 1)] × [(x + 1)/(x – 2)].
Bài 6. Thực hiện phép chia [(x + 1)/(x – 1)] : [(x + 1)/(x + 2)].
Đáp án tham khảo
- Bài 1: x ≠ 3, x ≠ -3.
- Bài 2: (x – 3)/x, với x ≠ 0, x ≠ -3.
- Bài 3: mẫu chung x(x – 1), với x ≠ 0, x ≠ 1.
- Bài 4: (4x – 4)/(x² – 4), với x ≠ 2, x ≠ -2.
- Bài 5: (x + 2)/(x – 1), với x ≠ -1, x ≠ 1, x ≠ 2.
- Bài 6: (x + 2)/(x – 1), với x ≠ 1, x ≠ -1, x ≠ -2.
Khi học phần phân thức đại số, nên luôn viết điều kiện xác định ngay từ đầu, phân tích tử và mẫu thành nhân tử trước khi rút gọn, đồng thời kiểm tra lại xem phép biến đổi có làm mất điều kiện nào của biểu thức ban đầu hay không.