Đề thi HSG Toán 9 huyện Thanh Trì, Hà Nội 2022-2023

Bài 2.2

Chọn mẫu chung theo \(\operatorname{BCNN}(4,9,36)=36\) (không phải UCLN). Khi quy đồng, hai phân thức có mẫu 4 và 9 lần lượt được nhân cả tử và mẫu với 9 và 4; phân thức có mẫu 36 giữ nguyên.

Sau khi quy đồng và áp dụng bất đẳng thức theo hướng dẫn chấm, suy ra

\[P\ge\frac{(2+3+1)^2}{18+12+6+36(a+b+c)}\ge\frac{1}{2}.\]

Vậy \(P\ge\dfrac{1}{2}\).

Bài 3.1 – Phương trình nghiệm nguyên

Đưa về dạng tổng bình phương:

\[(a-b)^2+(2a-1)^2+(b-1)^2\le2.\]

Suy ra \((2a-1)^2\le2\). Vì \(2a-1\) là số lẻ nên \((2a-1)^2=1\), từ đó \(a=1\) (theo điều kiện của bài).

Thay \(a=1\), ta được \(2(b-1)^2\le1\). Vế trái là số chẵn không âm, nên \(b-1=0\), hay \(b=1\). Kết luận: \(a=b=1\).