Nguyên lý cực hạn là phương pháp chọn một phần tử lớn nhất, nhỏ nhất hoặc một cấu hình “cực trị” rồi khai thác tính chất đặc biệt của phần tử đó. Trong nhiều bài HSG THCS, việc chọn đúng đối tượng cực hạn giúp biến một bài tưởng như có quá nhiều trường hợp thành một lập luận ngắn.
Phạm vi: Đây là nội dung Toán THCS nâng cao, phù hợp học sinh khá giỏi, ôn HSG và thi vào lớp 10 chuyên; không phải toàn bộ kiến thức trong bài đều thuộc yêu cầu chính khóa.
1. Ý tưởng cốt lõi
Nếu một tập hữu hạn không rỗng gồm các số thì luôn tồn tại phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất. Tương tự, trong một họ hữu hạn các đoạn thẳng có thể chọn đoạn ngắn nhất; trong một họ hữu hạn các cấu hình có thể chọn cấu hình có một đại lượng nhỏ nhất.
Ta chọn phần tử cực hạn vì nó không thể bị cải thiện thêm. Nếu từ nó vẫn xây được một phần tử nhỏ hơn/lớn hơn cùng loại, ta sẽ có mâu thuẫn.
2. Mẫu 1: chọn phần tử lớn nhất
Bài toán. Chứng minh không tồn tại tập hữu hạn không rỗng \(S\) gồm các số nguyên dương sao cho với mọi \(a\in S\), ta đều có \(2a\in S\).
Lời giải. Giả sử tồn tại tập như vậy. Vì \(S\) hữu hạn và không rỗng, chọn \(M\) là phần tử lớn nhất của \(S\). Theo giả thiết \(2M\in S\). Nhưng \(2M>M\), mâu thuẫn với việc \(M\) là phần tử lớn nhất. Vậy không tồn tại tập \(S\) như trên.
3. Mẫu 2: chọn phần tử nhỏ nhất
Bài toán. Giả sử \(S\) là tập hữu hạn các số nguyên dương lớn hơn 1 và với mỗi \(a\in S\) luôn tồn tại \(b\in S\) sao cho \(1<b<a\). Chứng minh giả thiết đó không thể xảy ra.
Lời giải. Chọn \(m\) là phần tử nhỏ nhất của \(S\). Theo điều kiện, phải có \(b\in S\) với \(1<b<m\), trái với tính nhỏ nhất của \(m\).
4. Mẫu 3: chọn đại lượng cực trị trong hình học
Trong hình học tổ hợp, ta thường chọn:
- đoạn ngắn nhất hoặc dài nhất;
- góc nhỏ nhất hoặc lớn nhất;
- điểm có khoảng cách nhỏ nhất tới một đường;
- đa giác có diện tích nhỏ nhất trong các cấu hình thỏa điều kiện.
Sau khi chọn, hãy hỏi: nếu kết luận chưa đúng thì có thể dựng một đoạn ngắn hơn, một góc nhỏ hơn hoặc một cấu hình tốt hơn không? Nếu có, ta tạo mâu thuẫn với lựa chọn cực hạn.
5. Cực hạn thường đi cùng phản chứng
Một cấu trúc rất phổ biến:
- Giả sử kết luận sai.
- Trong các phản ví dụ, chọn một phản ví dụ nhỏ nhất hoặc lớn nhất theo một tiêu chí.
- Từ phản ví dụ đó xây được một phản ví dụ “nhỏ hơn”.
- Mâu thuẫn.
Đây được gọi là tư duy phản ví dụ cực tiểu, rất hữu ích trong số học và tổ hợp.
6. Cách chọn đại lượng cực hạn
Ưu tiên đại lượng:
- là số nguyên không âm, vì dễ lập luận “không thể giảm mãi”;
- thay đổi rõ ràng sau mỗi phép biến đổi;
- gắn trực tiếp với điều cần chứng minh;
- có thể so sánh giữa các cấu hình.
Nếu chọn đại lượng không liên quan tới cấu trúc của bài, phương pháp cực hạn sẽ không tạo thêm thông tin.
7. Phân biệt cực hạn và cực trị đại số
“Nguyên lý cực hạn” trong tổ hợp không đồng nghĩa với bài toán tìm GTLN/GTNN bằng bất đẳng thức. Điểm giống nhau là cùng quan tâm tới lớn nhất/nhỏ nhất, nhưng trong cực hạn ta chọn một phần tử cực trị để lập luận, chứ không nhất thiết phải tính giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất bằng công thức.
8. Bài tập tự luyện
- Chứng minh không có tập hữu hạn không rỗng \(S\subset\mathbb{N}^{*}\) sao cho \(a+1\in S\) với mọi \(a\in S\).
- Giả sử một tập hữu hạn số nguyên dương có tính chất: với mỗi phần tử lớn hơn 1, luôn có một ước dương khác 1 nhỏ hơn nó cũng thuộc tập. Hãy xét phần tử nhỏ nhất để tìm điều kiện cần.
- Hãy nêu một đại lượng cực hạn thích hợp khi bài hình học yêu cầu chứng minh tồn tại một đoạn có độ dài nhỏ nhất trong một họ hữu hạn đoạn thẳng.