Phương pháp phản chứng chứng minh một mệnh đề bằng cách giả sử điều cần chứng minh là sai, rồi từ giả sử đó suy ra một điều vô lý. Khi mâu thuẫn xuất hiện, giả sử ban đầu phải sai và mệnh đề cần chứng minh là đúng.
Phạm vi: Đây là nội dung Toán THCS nâng cao, phù hợp học sinh khá giỏi, ôn HSG và thi vào lớp 10 chuyên; không phải toàn bộ kiến thức trong bài đều thuộc yêu cầu chính khóa.
1. Cấu trúc của một bài phản chứng
- Xác định chính xác điều cần chứng minh.
- Giả sử phủ định của kết luận là đúng.
- Kết hợp giả sử mới với giả thiết và các định lý đã biết.
- Suy ra mâu thuẫn.
- Kết luận giả sử phủ định là sai, nên điều cần chứng minh đúng.
Điểm quan trọng là phải phủ định đúng mệnh đề. Ví dụ phủ định của “mọi số đều có tính chất \(P\)” là “tồn tại ít nhất một số không có tính chất \(P\)”, chứ không phải “mọi số đều không có tính chất \(P\)”.
2. Ví dụ 1: nếu \(n^2\) chẵn thì \(n\) chẵn
Bài toán. Chứng minh với \(n\in\mathbb{Z}\), nếu \(n^2\) là số chẵn thì \(n\) là số chẵn.
Phản chứng. Giả sử \(n^2\) chẵn nhưng \(n\) lẻ. Khi đó \(n=2k+1\) với \(k\in\mathbb{Z}\). Suy ra
\(n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1,\)
nên \(n^2\) lẻ, trái với giả thiết \(n^2\) chẵn. Vậy \(n\) phải chẵn.
3. Ví dụ 2: \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ
Bài toán. Chứng minh \(\sqrt{2}\) không thể viết dưới dạng phân số tối giản của hai số nguyên.
Phản chứng. Giả sử \(\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}\) với \(a,b\in\mathbb{N}^{*}\) và \(\gcd(a,b)=1\). Khi đó
\(a^2=2b^2.\)
Suy ra \(a^2\) chẵn, nên theo kết quả trên \(a\) chẵn. Đặt \(a=2k\). Thay vào ta được \(4k^2=2b^2\), hay \(b^2=2k^2\), nên \(b\) cũng chẵn. Vậy \(a,b\) cùng chia hết cho 2, mâu thuẫn với \(\gcd(a,b)=1\). Do đó \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ.
4. Ví dụ 3: không tồn tại số nguyên lớn nhất
Giả sử tồn tại số nguyên lớn nhất \(M\). Khi đó \(M+1\) cũng là số nguyên và \(M+1>M\), mâu thuẫn với việc \(M\) lớn nhất. Vì vậy không tồn tại số nguyên lớn nhất.
Ví dụ này ngắn nhưng cho thấy một mẫu rất quan trọng: giả sử tồn tại phần tử cực đại rồi xây dựng phần tử lớn hơn.
5. Khi nào nên nghĩ tới phản chứng?
- Bài toán yêu cầu chứng minh “không thể”, “không tồn tại”.
- Kết luận có dạng “ít nhất một”, “tồn tại”, nhưng khó dựng trực tiếp.
- Giả sử ngược lại làm xuất hiện tính chia hết, chẵn lẻ hoặc bất đẳng thức dễ khai thác.
- Bài hình học mà giả sử hai điểm/đường có vị trí ngược lại dẫn đến mâu thuẫn với tính duy nhất.
6. Phân biệt phản chứng với chứng minh phản đảo
Với mệnh đề \(P\Rightarrow Q\), phản đảo là \(\neg Q\Rightarrow\neg P\). Chứng minh phản đảo là chứng minh một mệnh đề tương đương. Còn phản chứng thường bắt đầu bằng việc giả sử cả \(P\) đúng và \(Q\) sai rồi tìm mâu thuẫn. Hai kỹ thuật có liên hệ nhưng không hoàn toàn giống nhau.
7. Lỗi thường gặp
- Phủ định sai kết luận.
- Suy ra một điều “lạ” nhưng chưa thực sự mâu thuẫn.
- Dùng chính kết luận cần chứng minh trong quá trình lập luận.
- Kết thúc mà không chỉ ra mâu thuẫn nằm ở đâu.
8. Bài tập tự luyện
- Chứng minh nếu \(ab\) lẻ thì \(a,b\) đều lẻ.
- Chứng minh không tồn tại số nguyên lớn nhất.
- Chứng minh \(\sqrt{3}\) là số vô tỉ.
- Chứng minh nếu \(n^2\) chia hết cho 3 thì \(n\) chia hết cho 3.
Gợi ý: các bài 1 và 4 dùng chẵn lẻ/số dư; bài 3 làm tương tự chứng minh \(\sqrt{2}\) vô tỉ.