Hệ trục tọa độ \(Oxyz\) gồm ba trục đôi một vuông góc tại \(O\). Khi đã chọn ba vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\), các đối tượng hình học trong không gian có thể được mô tả bằng bộ ba số.
1. Tọa độ điểm và vectơ
Điểm \(M(x;y;z)\) tương ứng với \(\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k\). Vectơ \(\vec a=(a_1;a_2;a_3)\) có độ dài:
\[|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\]
2. Hai điểm trong không gian
Với \(A(x_A;y_A;z_A)\), \(B(x_B;y_B;z_B)\):
\[\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\,y_B-y_A;\,z_B-z_A).\]
Khoảng cách:
\[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.\]
Trung điểm \(I\) của \(AB\) có tọa độ:
\[I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right).\]
3. Ví dụ
Cho \(A(1;2;-1)\), \(B(4;-2;3)\). Khi đó \(\overrightarrow{AB}=(3;-4;4)\) và \(AB=\sqrt{9+16+16}=\sqrt{41}\).
Ghi nhớ: tọa độ của \(\overrightarrow{AB}\) luôn được tính theo quy tắc “tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu”.
Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức – Chương 2 · Lý thuyết Toán lớp 12.