Với hai biến cố độc lập, xác suất để cả hai cùng xảy ra bằng tích các xác suất riêng.
Mục tiêu bài học
- Nhận biết tình huống có hai biến cố độc lập.
- Áp dụng đúng $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
- Kết hợp công thức nhân với biến cố đối trong bài toán nhiều bước.
Kiến thức trọng tâm
Công thức nhân
Nếu $A,B$ độc lập thì $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Ngược lại, khi $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, ta có thể kết luận hai biến cố độc lập.
Độc lập và biến cố đối
Nếu $A,B$ độc lập thì $A$ và $\overline B$, $\overline A$ và $B$, cũng như $\overline A$ và $\overline B$ đều độc lập.
Mô hình nhiều bước
Với các phép thử độc lập liên tiếp, xác suất một chuỗi kết quả cụ thể thường bằng tích xác suất ở từng bước.
Không lạm dụng
Không được nhân xác suất chỉ vì bài có từ “và”. Nếu hai biến cố phụ thuộc nhau, cần công thức xác suất có điều kiện (ngoài phạm vi bài cơ bản này) hoặc mô hình khác.
Ví dụ minh họa
Tung một đồng xu cân đối và một xúc xắc cân đối. Xác suất đồng xu ra ngửa và xúc xắc ra 6 là $\dfrac12\cdot\dfrac16=\dfrac1{12}$.
Bài tập tự luyện
- Hai biến cố độc lập có $P(A)=0.4,P(B)=0.5$. Tính $P(A\cap B)$.
- Với dữ kiện trên, tính $P(\overline A\cap B)$.
- Nếu $P(A\cap B)=0.18,P(A)=0.3,P(B)=0.6$, hai biến cố có độc lập không?
Xem đáp án nhanh
- $0.2$.
- $0.3$.
- Có vì $0.3\cdot0.6=0.18$.
Lỗi thường gặp
- Dùng công thức nhân khi chưa biết độc lập.
- Nhầm giao $A\cap B$ với hợp $A\cup B$.
- Cho rằng xung khắc đồng nghĩa với độc lập.
Ghi nhớ
Hãy ưu tiên hiểu định nghĩa và điều kiện áp dụng trước khi ghi nhớ công thức. Sau mỗi phép biến đổi, kiểm tra lại điều kiện và tính hợp lí của kết quả.
Xem toàn bộ nội dung trong Chương 8. Các quy tắc tính xác suất hoặc Lý thuyết Toán lớp 11 KNTT.