Giới hạn của hàm số mô tả giá trị mà $f(x)$ tiến tới khi $x$ tiến đến một điểm hoặc ra vô cực, kể cả khi hàm không xác định tại chính điểm đang xét.
Mục tiêu bài học
- Hiểu giới hạn hữu hạn tại một điểm và giới hạn một bên.
- Tính giới hạn bằng các quy tắc đại số và biến đổi thích hợp.
- Nhận biết giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực.
Kiến thức trọng tâm
Giới hạn tại một điểm
$\lim_{x\to x_0}f(x)=L$ nghĩa là các giá trị $f(x)$ tiến gần $L$ khi $x$ tiến gần $x_0$ (với $x\ne x_0$). Giá trị $f(x_0)$ có thể tồn tại hoặc không và không quyết định riêng giới hạn.
Giới hạn một bên
$\lim_{x\to x_0^-}f(x)$ và $\lim_{x\to x_0^+}f(x)$ lần lượt xét từ bên trái và bên phải. Giới hạn hai phía tồn tại bằng $L$ khi hai giới hạn một bên cùng tồn tại và bằng $L$.
Quy tắc tính
Các quy tắc tổng, hiệu, tích, thương tương tự dãy số, với điều kiện mẫu có giới hạn khác 0 khi dùng quy tắc thương. Có thể phân tích nhân tử, quy đồng hoặc nhân liên hợp để khử dạng vô định.
Tại vô cực và giới hạn vô cực
Có thể xét $x\to\pm\infty$ hoặc $f(x)\to\pm\infty$. Với phân thức hữu tỉ, so sánh bậc tử và mẫu là cách nhanh để xác định giới hạn tại vô cực.
Ví dụ minh họa
Tính $\lim_{x\to2}\dfrac{4-x^2}{x-2}$. Phân tích $4-x^2=-(x-2)(x+2)$, nên với $x\ne2$ biểu thức bằng $-(x+2)$. Giới hạn bằng $-4$.
Bài tập tự luyện
- Tính $\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}$.
- Tính $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2+1}{x^2-2}$.
- Nếu giới hạn trái bằng 2 và giới hạn phải bằng 3 tại $x_0$, giới hạn hai phía có tồn tại không?
Xem đáp án nhanh
- $2$.
- $3$.
- Không.
Lỗi thường gặp
- Đồng nhất giới hạn với giá trị của hàm tại điểm.
- Rút gọn làm mất điều kiện $x\ne x_0$ rồi quên bản chất của giới hạn.
- Kết luận giới hạn hai phía khi hai giới hạn một bên khác nhau.
Ghi nhớ
Hãy ưu tiên hiểu định nghĩa và điều kiện áp dụng trước khi ghi nhớ công thức. Sau mỗi phép biến đổi, kiểm tra lại điều kiện và tính hợp lí của kết quả.
Xem toàn bộ nội dung trong Chương 5. Giới hạn. Hàm số liên tục hoặc Lý thuyết Toán lớp 11 KNTT.