Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 8 huyện Cẩm Xuyên, tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2021-2022. Thời gian làm bài 120 phút.
Hình thức thi gồm 10 câu điền kết quả và 4 câu tự luận.
Học sinh nên làm bài độc lập trước khi xem phần hướng dẫn giải, đồng thời phân biệt lỗi kiến thức với lỗi tính toán để ôn tập hiệu quả hơn.
Hướng dẫn giải
Câu 14. Với \(x,y,z>0\), \(x+y+z=3\), xét:
\(Q=\dfrac1{x^2+x}+\dfrac1{y^2+y}+\dfrac1{z^2+z}\).
Ta có \(\dfrac1{x^2+x}=\dfrac1{x(x+1)}\). Theo AM-GM:
\(\dfrac1{x(x+1)}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x+1}{4}\ge\dfrac32\).
Tương tự:
\(\dfrac1{y(y+1)}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{y+1}{4}\ge\dfrac32\),
\(\dfrac1{z(z+1)}+\dfrac{z}{2}+\dfrac{z+1}{4}\ge\dfrac32\).
Cộng ba bất đẳng thức:
\(Q+\dfrac{x+y+z}{2}+\dfrac{x+y+z+3}{4}\ge\dfrac92\).
Vì \(x+y+z=3\), suy ra:
\(Q\ge\dfrac92-\dfrac32-\dfrac32=\dfrac32\).
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\).
Vậy \(\min Q=\dfrac32\).