Đề thi Toán vào 10 THPT chuyên tỉnh Lạng Sơn 2022-2023

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán trường THPT chuyên tỉnh Lạng Sơn, năm học 2022-2023 (thời gian làm bài 150 phút).

Đề thi chính thức dành cho thí sinh thi vào 10 trường THPT chuyên tỉnh Lạng Sơn năm 2022-2023.

Hình thức thi trắc nghiệm và tự luận. Mã đề 326.

Hướng dẫn giải Đề thi Toán vào 10 THPT chuyên tỉnh Lạng Sơn 2022-2023

Câu 3: a) Giải phương trình:

$3\sqrt{x-1} + \sqrt{4x+1} = 6 \quad (1)$

Điều kiện xác định:

$\begin{cases} x – 1 \ge 0 \\ 4x + 1 \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge -\dfrac{1}{4} \end{cases} \Leftrightarrow x \ge 1$

Phương trình (1) tương đương với:

$3\sqrt{x-1} – 3 + \sqrt{4x+1} – 3 = 0$

$\Leftrightarrow 3(\sqrt{x-1} – 1) + (\sqrt{4x+1} – 3) = 0$

Nhân lượng liên hợp cho từng biểu thức, ta được:

$\Leftrightarrow 3 \cdot \dfrac{(\sqrt{x-1} – 1)(\sqrt{x-1} + 1)}{\sqrt{x-1} + 1} + \dfrac{(\sqrt{4x+1} – 3)(\sqrt{4x+1} + 3)}{\sqrt{4x+1} + 3} = 0$

$\Leftrightarrow 3 \cdot \dfrac{x – 1 – 1}{\sqrt{x-1} + 1} + \dfrac{4x + 1 – 9}{\sqrt{4x+1} + 3} = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{3(x – 2)}{\sqrt{x-1} + 1} + \dfrac{4(x – 2)}{\sqrt{4x+1} + 3} = 0$

$\Leftrightarrow (x – 2) \left[ \dfrac{3}{\sqrt{x-1} + 1} + \dfrac{4}{\sqrt{4x+1} + 3} \right] = 0$

Phương trình trên xảy ra khi và chỉ khi một trong hai nhân tử bằng $0$:

Trường hợp 1:
$x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$

(Giá trị này thỏa mãn điều kiện $x \ge 1$)

Trường hợp 2:
$\dfrac{3}{\sqrt{x-1} + 1} + \dfrac{4}{\sqrt{4x+1} + 3} = 0$

Ta xét với mọi $x \ge 1$ (theo điều kiện xác định):

Ta có $\sqrt{x-1} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x-1} + 1 \ge 1 > 0$

Và $\sqrt{4x+1} \ge \sqrt{5} \Rightarrow \sqrt{4x+1} + 3 > 0$

Do đó: $\dfrac{3}{\sqrt{x-1} + 1} + \dfrac{4}{\sqrt{4x+1} + 3} > 0 \quad \forall x \ge 1$

Vậy trường hợp này phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x = 2$. Tập nghiệm $S = \{2\}$.