Công thức xác suất toàn phần dùng khi một biến cố có thể xảy ra qua nhiều trường hợp loại trừ nhau. Công thức Bayes giải bài toán ngược: sau khi quan sát kết quả, ta cập nhật xác suất của từng nguyên nhân có thể gây ra kết quả đó.
1. Công thức xác suất toàn phần
Giả sử \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) đôi một xung khắc, hợp của chúng là toàn bộ không gian mẫu và \(P(A_i)>0\). Với biến cố \(B\):
\[P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B\mid A_i).\]
Trên sơ đồ cây, đây chính là tổng xác suất của tất cả các nhánh kết thúc tại \(B\).
2. Công thức Bayes
Khi \(P(B)>0\):
\[P(A_k\mid B)=\frac{P(A_k)P(B\mid A_k)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B\mid A_i)}.\]
3. Ví dụ
Một nhà máy có máy \(M_1\) sản xuất 60% sản phẩm, tỉ lệ lỗi 2%; máy \(M_2\) sản xuất 40%, tỉ lệ lỗi 5%. Gọi \(D\) là biến cố “sản phẩm bị lỗi”.
\[P(D)=0{,}6\cdot0{,}02+0{,}4\cdot0{,}05=0{,}032.\]
Nếu lấy ngẫu nhiên một sản phẩm và thấy sản phẩm đó bị lỗi, xác suất nó do \(M_2\) sản xuất là:
\[P(M_2\mid D)=\frac{0{,}4\cdot0{,}05}{0{,}032}=0{,}625.\]
Ghi nhớ: Bayes không phải phép “đảo” trực tiếp \(P(B\mid A)\); phải nhân với xác suất ban đầu của nguyên nhân và chia cho xác suất toàn phần của kết quả đã quan sát.
Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức – Chương 6 · Lý thuyết Toán lớp 12.