Mặt cầu là tập hợp các điểm trong không gian cách một điểm cố định một khoảng không đổi. Khi dùng tọa độ, định nghĩa khoảng cách dẫn trực tiếp tới phương trình mặt cầu.
1. Phương trình chuẩn
Mặt cầu tâm \(I(a;b;c)\), bán kính \(R>0\) có phương trình:
\[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.\]
2. Dạng khai triển
Phương trình \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\) biểu diễn mặt cầu khi:
\[R^2=a^2+b^2+c^2-d>0.\]
Khi đó tâm là \(I(a;b;c)\). Việc hoàn thành bình phương giúp chuyển từ dạng khai triển sang dạng chuẩn.
3. Ví dụ
Mặt cầu tâm \(I(1;-2;3)\), bán kính \(4\) có phương trình:
\[(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16.\]
Nếu biết hai đầu mút \(A,B\) của một đường kính, tâm là trung điểm của \(AB\), còn bán kính bằng \(AB/2\).
Ghi nhớ: trong phương trình chuẩn, dấu tọa độ tâm ngược với dấu xuất hiện trong ngoặc: \((y+2)^2\) tương ứng tọa độ tâm \(b=-2\).
Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức – Chương 5 · Lý thuyết Toán lớp 12.