Tính liên tục kết nối giá trị của hàm tại một điểm với giới hạn của hàm tại điểm đó và là cơ sở cho nhiều định lí giải tích.
Mục tiêu bài học
- Kiểm tra tính liên tục tại một điểm.
- Nhận biết các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định.
- Vận dụng định lí giá trị trung gian để khẳng định sự tồn tại nghiệm.
Kiến thức trọng tâm
Liên tục tại một điểm
Hàm $f$ liên tục tại $x_0$ nếu $f(x_0)$ xác định và $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$. Nếu một trong các điều kiện này không đúng, hàm gián đoạn tại $x_0$.
Liên tục trên khoảng/đoạn
Hàm liên tục trên một khoảng nếu liên tục tại mọi điểm của khoảng. Trên đoạn $[a;b]$, ngoài liên tục trong $(a;b)$ còn cần liên tục phải tại $a$ và liên tục trái tại $b$.
Các hàm quen thuộc
Đa thức liên tục trên $\mathbb R$; phân thức hữu tỉ liên tục tại mọi điểm mẫu khác 0; các hàm lượng giác, mũ, lôgarit liên tục trên miền xác định tương ứng.
Định lí giá trị trung gian
Nếu $f$ liên tục trên $[a;b]$ và $f(a)f(b)<0$, tồn tại ít nhất một $c\in(a;b)$ sao cho $f(c)=0$. Định lí khẳng định tồn tại, không khẳng định nghiệm là duy nhất.
Ví dụ minh họa
Xét $f(x)=x^3+x-1$. Hàm liên tục trên $[0;1]$, $f(0)=-1$, $f(1)=1$, nên tồn tại ít nhất một nghiệm của $f(x)=0$ trong $(0;1)$.
Bài tập tự luyện
- Hàm $f(x)=\dfrac1{x-2}$ liên tục ở đâu?
- Kiểm tra tính liên tục của $f(x)=x^2$ tại $x=1$.
- Nếu $f$ liên tục trên $[2;3]$, $f(2)=-4,f(3)=5$, kết luận gì?
Xem đáp án nhanh
- Trên $(-\infty;2)$ và $(2;+\infty)$.
- Liên tục vì giới hạn bằng $1=f(1)$.
- Có ít nhất một nghiệm trong $(2;3)$.
Lỗi thường gặp
- Chỉ tính giới hạn mà không kiểm tra $f(x_0)$.
- Cho rằng mọi hàm phân thức liên tục trên $\mathbb R$.
- Dùng định lí giá trị trung gian khi hàm không liên tục trên đoạn.
Ghi nhớ
Hãy ưu tiên hiểu định nghĩa và điều kiện áp dụng trước khi ghi nhớ công thức. Sau mỗi phép biến đổi, kiểm tra lại điều kiện và tính hợp lí của kết quả.
Xem toàn bộ nội dung trong Chương 5. Giới hạn. Hàm số liên tục hoặc Lý thuyết Toán lớp 11 KNTT.