Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 8 thị xã Quảng Yên, tỉnh Quảng Ninh, năm học 2022-2023. Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề).
Hình thức thi tự luận gồm 5 câu.
Đáp án Đề thi HSG Toán 8 thị xã Quảng Yên năm học 2022-2023
Câu 1.
1) Với biểu thức trong đề, rút gọn được:
\(A=\dfrac{2}{1-2x}\), với \(x\ne \pm1,\;x\ne\dfrac12\).
2) Từ \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\), suy ra
\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\), nên \(a=b=c\). Do đó \(P=1+1+1=3\).
Câu 2.
1) Ta viết:
\(\dfrac{214-x}{91}=1+\dfrac{123-x}{91}\), \(\dfrac{265-x}{71}=2+\dfrac{123-x}{71}\),
\(\dfrac{216-x}{31}=3+\dfrac{123-x}{31}\), \(\dfrac{167-x}{11}=4+\dfrac{123-x}{11}\).
Phương trình trở thành
\((123-x)\left(\dfrac1{91}+\dfrac1{71}+\dfrac1{31}+\dfrac1{11}\right)=0\).
Vì tổng trong ngoặc dương nên \(x=123\).
2) Ta có:
\((x-1)(x+5)=x^2+4x-5\),
\((x-3)(x+7)=x^2+4x-21\).
Đặt \(t=x^2+4x-13\). Khi đó phương trình đã cho trở thành
\((t+8)(t-8)=297\), hay \(t^2=361\), nên \(t=\pm19\).
Với \(t=19\): \(x^2+4x-32=0\), suy ra \(x=-8\) hoặc \(x=4\).
Với \(t=-19\): \(x^2+4x+6=0\), phương trình vô nghiệm thực.
Vậy \(S=\{-8;4\}\).
Câu 3.
a) Ta phân tích:
\(n^3(n^2-7)^2-36n=n\left((n^3-7n)^2-36\right)\).
\(n\left((n^3-7n)^2-36\right)=n(n^3-7n+6)(n^3-7n-6)\).
\(n(n^3-7n+6)(n^3-7n-6)=n(n-1)(n-2)(n+3)(n+1)(n+2)(n-3)\).
\(n(n-1)(n-2)(n+3)(n+1)(n+2)(n-3)=(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)\).
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp, nên có ít nhất một thừa số chia hết cho 7. Vì vậy biểu thức đã cho chia hết cho 7.
b) Đặt \(t=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\). Vì \(x,y>0\), theo bất đẳng thức AM-GM có \(t\ge2\).
Mặt khác,
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4=t^2+2\).
Do đó cần chứng minh \(t^2+2\ge3t\), tương đương
\((t-1)(t-2)\ge0\), đúng vì \(t\ge2\).
Dấu bằng xảy ra khi \(t=2\), tức là \(x=y\).
Câu 5.
Xem mỗi cặp đôi là một khối. Ba khối có \(3!=6\) cách sắp xếp. Trong mỗi cặp có 2 cách đổi chỗ, nên có thêm \(2^3=8\) cách.
Vậy số cách ngồi là \(3!\cdot2^3=48\).