Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 huyện Quảng Xương, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2022-2023. Thời gian làm bài 150 phút.
Ngày thi 27/12/2022. Hình thức thi tự luận gồm 5 bài.
Đáp án Đề thi HSG Toán 9 huyện Quảng Xương, Thanh Hóa năm học 2022-2023
Hướng dẫn ý c
Vì \(OB=OD\) và hai tam giác có chung đường cao hạ từ \(A\) xuống \(BD\), ta có \(S_{AOB}=S_{AOD}\). Tương tự, \(S_{COD}=S_{BOC}\).
Suy ra \(S_1+S_2=S_{AOD}+S_{BOC}\). Mặt khác, nếu \(S=(a+b)^2\) thì
\[S=a^2+b^2+2ab=S_1+S_2+2ab.\]
Đồng thời \(S=S_1+S_2+S_{AOD}+S_{BOC}\), nên
\[2ab=S_{AOD}+S_{BOC}=S_1+S_2=a^2+b^2.\]
Do đó \(2ab=a^2+b^2\Leftrightarrow(a-b)^2=0\Leftrightarrow a=b\). Suy ra \(S_1=S_2\); khi đó \(O\) là trung điểm của \(AC\), nên \(ABCD\) là hình bình hành.
Cũng có thể giải thích \(OA=OC\) bằng công thức diện tích: \(S_{AOB}=\dfrac{1}{2} OA\cdot OB\sin\angle AOB\) và \(S_{COD}=\dfrac{1}{2} OC\cdot OD\sin\angle COD\).