Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn Toán trường THCS Lê Quý Đôn, thành phố Bắc Giang, năm học 2022-2023. Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề).
Ngày thi 17 tháng 12 năm 2022. Hình thức tự luận gồm 5 câu.
Đáp án Đề thi HSG Toán 9 THCS Lê Quý Đôn, thành phố Bắc Giang năm học 2022-2023
Hướng dẫn Câu 2.2
Từ \(ab(a+b)^2+2(a+b)+1=0\) (1).
Nếu \(a=0\) thì \(b=-\dfrac{1}{2}\); khi đó \(1-ab=1\) là số chính phương.
Xét \(a,b\ne0\). Nhân hai vế của (1) với \(ab\), ta được
\[[ab(a+b)]^2+2ab(a+b)+ab=0.\]
Suy ra
\[1-ab=[ab(a+b)+1]^2.\]
Vì \(a,b\in\mathbb Q\), vế phải là bình phương của một số hữu tỉ; do đó kết luận cần chứng minh đúng.
Ý tưởng Câu 3.2
Số có \(n\) chữ số đều bằng \(k\) có dạng \(k\cdot\dfrac{10^n-1}{9}\). Áp dụng biểu diễn này vào biểu thức của đề để tiếp tục biến đổi.
Câu 4:
Câu 5:
