Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 tỉnh Trà Vinh, năm học 2021-2022. Thời gian làm bài 150 phút.
Hình thức thi tự luận gồm 6 câu.
Đáp án câu bất đẳng thức
Ta có
\[a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\]
vì
\[2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge0.\]
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\).
Mặt khác, do \(a,b,c\) là ba cạnh của một tam giác:
\[a<b+c\Rightarrow a^2<ab+ac,\]
và tương tự \(b^2<bc+ba\), \(c^2<ca+cb\). Cộng ba bất đẳng thức:
\[a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca).\]
Vậy
\[ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca).\]