Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 THPT thành phố Hà Nội, năm học 2021-2022. Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề).
Ngày thi 23/12/2021. Hình thức thi tự luận gồm 6 câu.
Đáp án đề thi HSG môn Toán lớp 12 thành phố Hà Nội năm học 2021-2022
Gợi ý giải:
Câu II, ý 1): Chỉ cần để ý \(a+b=c+d\) và \(a^2+b^2=c^2+d^2\) thì suy ra \(a=c\) hoặc \(a=d\).
Câu II, ý 2): Đặt \(a=x-1\). Phương trình đầu có thể viết thành
\[a^2-3a+4\sqrt a=y^2-3y+4\sqrt y.\]
Nếu \(a\ne y\) thì từ đây thu được
\[a+y+\dfrac4{\sqrt a+\sqrt y}=3.\]
Mà \(a+y\ge\sqrt{a^2+y^2}=5>3\), mâu thuẫn. Do đó \(a=y\). Thế vào phương trình thứ hai để hoàn tất.
Câu VI: Dùng bất đẳng thức phụ \((x+y+z)^2\ge3(xy+yz+zx)\), ta có
\[\left(\sum \dfrac1{a^2}\right)^2\ge3\sum\dfrac1{a^2b^2}=\dfrac9{a^2b^2c^2}.\]
Suy ra \(\displaystyle \sum\dfrac1{a^2}\ge\dfrac3{abc}\). Từ đó \(P\ge\dfrac1{abc}\ge1\).
