Đề kiểm tra cuối học kì 1 môn Toán lớp 10 trường THPT chuyên Khoa học tự nhiên, năm học 2022-2023. Thời gian làm bài 90 phút.
Hình thức thi tự luận.
Với Đề thi HK1 Toán 10 THPT chuyên Khoa học tự nhiên 2022-2023, học sinh nên ưu tiên tự làm đề trước rồi mới đối chiếu phần chữa nếu có. Khi chữa đề, nên xem lại các câu mất nhiều thời gian trước khi chuyển sang làm một đề khác.
Đáp án Đề thi HK1 Toán 10 THPT chuyên Khoa học tự nhiên năm học 2022-2023
Câu 2.1
Câu 1.2 
Bất đẳng thức cuối. Ta có \(2c+a+b=(a+c)+(b+c)\ge2\sqrt{(a+c)(b+c)}\). Do đó bài toán được đưa về chứng minh
\[\displaystyle \sum_{\mathrm{cyc}}\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}\le\dfrac32.\]
Áp dụng AM-GM cho từng hạng tử:
\[\displaystyle \dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}=\sqrt{\dfrac{a}{a+c}\cdot\dfrac{b}{b+c}}\le\dfrac12\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right).\]
Cộng theo chu kì, các phân thức ghép thành ba cặp có tổng bằng 1, nên vế trái không vượt quá \(\dfrac32\). Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c>0\).