Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 tỉnh Khánh Hòa, năm học 2022-2023. Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề).
Ngày thi 07/12/2022. Hình thức thi tự luận gồm 5 câu.
Hướng dẫn giải Đáp án tham khảo Đề thi HSG Toán 9 tỉnh Khánh Hòa năm học 2022-2023
Nguồn: Câu lạc bộ Toán THCS.
2.1:
Giả sử f(x)-12 có nghiệm nguyên a. Khi đó f(a)=12. Vì f(x)∈Z[x] nên f(x)-f(a) chia hết cho x-a trong Z[x]; do đó tồn tại Q(x)∈Z[x] sao cho f(x)=12+(x-a)Q(x). Suy ra f(3)=12+(3-a)Q(3) và f(4)=12+(4-a)Q(4). Hai số 3-a và 4-a liên tiếp nên một số chẵn. Vì thế ít nhất một trong hai số f(3), f(4) là số chẵn, suy ra f(3)f(4) chẵn, trái với f(3)f(4)=7. Vậy f(x)-12 không có nghiệm nguyên.
2.2:
Gọi ba số nguyên tố là a,b,c và abc=5(a+b+c). Vì 5 chia hết tích abc nên một trong a,b,c bằng 5; không mất tính tổng quát, đặt a=5. Khi đó bc=b+c+5, hay (b-1)(c-1)=6. Các cặp ước dương của 6 cho (b,c)=(2,7),(3,4),(4,3),(7,2); chỉ (2,7) và (7,2) đều là số nguyên tố. Vậy ba số cần tìm là 2, 5, 7 (theo mọi thứ tự).