Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lần 2 môn Toán lớp 9 huyện Phúc Thọ, thành phố Hà Nội, năm học 2022-2023. Thời gian làm bài 150 phút.
Hình thức thi tự luận gồm 5 bài.
Đáp án Đề thi HSG Toán 9 huyện Phúc Thọ (lần 2) năm 2022-2023
Bài 2:
Bài 5: Chia hình chữ nhật thành 1011 hình vuông đơn vị, các hình vuông không chồng phần trong. Phân 2023 điểm vào 1011 hình vuông. Nếu mỗi hình vuông chứa nhiều nhất 2 điểm thì tổng số điểm nhiều nhất là 2×1011=2022, mâu thuẫn. Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại một hình vuông đơn vị chứa ít nhất 3 điểm. Gọi O là tâm hình vuông đó. Mọi điểm của hình vuông cách O không quá nửa đường chéo, tức là \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Vì vậy ba điểm vừa chọn cùng nằm trong đường tròn tâm O bán kính \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\); đồng thời khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong ba điểm không vượt quá \(\sqrt{2}\).