Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 7 huyện Như Thanh, tỉnh Thanh Hoá, năm học 2021-2022. Thời gian làm bài 150 phút.
Ngày thi 05/05/2022. Hình thức thi tự luận gồm 5 câu.
Gợi ý đáp án
Câu 3.
3.1. Từ \(x^2y=3+2xy+x\), ta có:
\(xy(x-2)-x=3\).
Suy ra \((xy-1)(x-2)=5\).
Vì \(x,y\) là các số nguyên nên \(x-2\) là ước của 5. Xét các trường hợp \(x-2\in\{1,5,-1,-5\}\), thu được:
\((x,y)=(3,2),\;(1,-4),\;(-3,0)\).
3.2. Theo giả thiết
\(a^3+b^3=2(c^3-8d^3)\), nên:
\(a^3+b^3+c^3+d^3=3c^3-15d^3=3(c^3-5d^3)\), do đó tổng này chia hết cho 3.
Với mọi số nguyên \(n\), ta có \(n^3\equiv n\pmod 3\). Vì thế:
\(a+b+c+d\equiv a^3+b^3+c^3+d^3\equiv0\pmod 3\).
Vậy \(a+b+c+d\) chia hết cho 3.
Câu 5.
Đặt \(d=xy-1\). Vì \(\dfrac{x^3+x}{xy-1}\) là số nguyên dương nên \(d>0\) và \(d\mid(x^3+x)\).
Nhân với \(y\), ta có:
\(y(x^3+x)=x^2(xy-1)+(xy-1)+(x^2+1)\).
Suy ra \(d\mid(x^2+1)\). Tiếp tục:
\(y(x^2+1)=x(xy-1)+(x+y)\), nên \(d\mid(x+y)\).
Vì \(d>0\) và \(x+y>0\), suy ra \(xy-1\le x+y\), hay
\((x-1)(y-1)\le2\).
Kết hợp điều kiện chia hết, các cặp số nguyên dương có thể xảy ra là:
\((x,y)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\).
Nếu \(xy=2,\;x+y=3\), chọn \(z=3\); nếu \(xy=3,\;x+y=4\), chọn \(z=2\); nếu \(xy=6,\;x+y=5\), chọn \(z=1\).
Trong cả ba trường hợp đều có \(x+y+z=xyz\). Vậy luôn tồn tại số nguyên dương \(z\) thỏa mãn yêu cầu.